|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Lengte van koorde die een straal loodrecht middendoor deelt
Zouden jullie het binomiale gemiddelde voor me kunnen afleiden van uit _ 1 k = E k.P 00 k Ik hoop dat het duidelijk genoeg is. Ik loop namelijk vast bij het gedeelte dat ze termen voor de E gaan zetten. Alvast bedankt
Antwoord
Hoi, We noteren C(n,k)=n!/[k!.(n-k)!]. De bionomiaalverdeling is gegeven door pk=C(n,k).pk.(1-p)n-k. Dit stelt de kans voor op k successen bij n trekkingen, terwijl de kans op succes p is. (zie ook http://mathworld.wolfram.com/BinomialDistribution.html) Gevraagd is de gemiddelde waarde E=sum(k.pk,k=0..n) Welnu: E =sum(k.pk,k=0..n) =sum(k.C(n,k).pk.(1-p)n-k,k=0..n) =(1-p)n.sum(C(n,k).k.(p/1-p)k,k=0..n) =(1-p)n.p/1-p.sum(C(n,k).k.(p/1-p)k-1,k=0..n) =p.(1-p)n-1.sum(C(n,k).k.(p/1-p)k-1,k=0..n) Het binomium van Newton leert: (1+x)n=sum(C(n,k).xk,k=0..n) en dus: n.(1+x)n-1=sum(C(n,k).k.xk-1,k=0..n) Zodat met x=p/1-p: E=p.(1-p)n-1.n.(1+p/1-p)n-1=n.p Waar we termen voor de 'sum' zetten, gebruiken we gewoon de uitbreiding van de eigenschap die zegt dat a.b+a.c=a.(b+c). Voor de rest is het enkel notatie... Groetjes, Johan
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|